衡水金卷先享题 2023届调研卷 理综(全国甲卷B)(三)3答案

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21.(12分)22y2√6已知椭圆C:。+=1(a>6>0),0为坐标原点，右焦点坐标为F2,0),椭圆C的离心率为3·(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C在y轴上的两个顶点为A,B,点P满足A户·BP=0,直线PF交椭圆于M,N两点，且IMN|=√3，求此时∠OPF的大小.解：(1)因为右焦点为F(√2,0)，所以c=√2，因为离心率e=C=V5a 3所以a=√3，b2=a2-c2=3-2=1,所以精圈C的方程为写+)=1.(2)当直线PF垂直于x轴时，MN=g≠3（舍去）：当直线PF不垂直于x轴时，设直线PF的方程为y=k(x一√2)，y=k(x-√2)，由3+y2-1,整理得(1+3k2)x2一6√2k2x+6k2-3=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意知△>0恒成立，6√2k26k2-3所以x1十x2=1十321x2=1+3k所以|MN|=√1+k|x1-x2|=√1+kF√x1+x2)-4x1x2=√1+k6√2k2126k2-31+3k2-4X1+3k2√个+12k2+12V(1+3k2)2=5,解得k=土1，所以直线PF的方程为y=土(x一√2).因为A,B为椭圆C在y轴上的两个顶，点，所以不妨设A(0,1),B(0,一1)，因为AP·BP=0,设P(m,n),所以(m,n-1)·(m,n+1)=0,即m2十n2=1,即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上因为原点到直线P℉的距离d=2=1√1+k2√1+（士1）2所以直线PF与圆m2十n2=1相切，所以∠OPF=90°.

20.(12分)》已知双曲线C:号-岁-=1a>0,6>0)的虚轴长为4，且经过点(？，2)-x2 y2(1)求双曲线C的标准方程；(2)双曲线C的左，右顶点分别为A,A,过左顶点A:作实箱的垂线交一条渐近线1：y=一合，于点T,过T作直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点，直线A2P,A2Q分别交1于M,N两点.证明：四边形A1MA2N为平行四边形，(1解：因为双由我的度轴长为4，且经过点(？，》2b=4,所以259解得=1，46=1b=2,16a2所以双曲线的标准方程为工”一=1.4(2)证明：联立区=一1y=-2x,得T(一1,2)，由题意知过T点的直线斜率存在，设过T点的直线方程为y一2=k(x十1)，P(x1,y1),Q(x2y2),y-2=k(x+1),联立得(4一k2)x2一(2k2+4k)x-(k2+4k+8)=0,则△=(2k2+4k)2+4(4一k2)(k2+4k+8)>0,得k>-2,所以x1十x2=4-0x1x2=二(32+4k+8)4k+2k24一k2因为A2(1,0),所以直线A2P的方程为y=y1(x-1),x1-1y=-2x,联立y=-7(x-1),得xM=y=y1+2(x1-1)同理可得xN=y2y2+2(x2-1)'所以xM十xN=yV2kx1十k+2,kx2十k+22k(k+2)x1x2+(2k2+4+4)(x1+x2)+2k(k+2)1+2x1-1)y2十2x2-1)k+2)x1十k(k十2)x2十k[k+2)x1+kI+2)x2+k]因为2k(质+2)x1x2+(2k2+4k+4)(x1十x:)+2k(+2)=4[-2k(k+2)(k2+4+8)+(2:+40+14)(4k+2k)+2k(质+2)(4-62)]=4-R·《-2k)(k+2)[k2+4h+8)-(2k2+4k+4)-(4-k2)]}=0,即xM十xN=0,所以对角线MN与A1A2互相平分，即四边形A1MA2N为平行四边形.