海淀八模 2023届高三模拟测试卷(三)3理综(J)试题答案

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解：(1)以DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，x轴与AB垂直，因为在菱形AABCD中，∠DAB=60°，则x轴是AB的垂直平分线，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(√3，-1,0)，B(W3,1,0),C(0,2,0),设F(0,0,t),t>0,则BF=(-√3，-1，t),CF=(0,-2,t),设平面BCF的一个法向量为m=(x,y,之)，/m·CF=-2y十tz=0,则m·BF=-√3x-y十tz=0,令y=4,则-2-中m=(停，2到易知平面DCF的一个法向量是n=(1,0,0),√6因为二面角D-FCB的余弦值为6，m·n√6所以|cos(m,n〉|=3+2+416解得t=√6（负值舍去），解得t=√6（负值舍去），所以PD=21=2√6.PF女B(2)由(1)知P(0,0,2√6)，PA=(5,-1,-2√6)，BF=(-√3，-1，W6),cos(B京，PA)=B.PA-3+1-12=-70BF||PA|√28X√1010所以异面直线BF与PA所成角的余弦值为√70101(3)由(1)可知平面BCF的一个法向量为m=(√2，W6,2),又AF=(一√5,1，√6)，则c0s(m,A)=m·A京=-6+6+2W6V5mAF√/12XW√10515所以直线AF与平面BCF所成角的正弦值为行，

(1)证明：因为直线AB⊥平面BCDE,所以AB⊥BC,AB⊥BE,因为底面BCDE是梯形，BC∥DE,BC⊥CD,CD=DE=2BC=2,F是边BC的中点，所以四边形CDEF为正方形，BE=√EF2十BF=2√2，CE2=8,AE2=AB2+BE2=AB2+8,AC2=AB2+BC2=AB2+16,所以AC2=AE2十CE2,所以AE⊥EC.(2)解：以FE,FC所在直线分别为x,y轴，在平面ABC中，过点F且垂直于FC的直线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标系Fxy之，设AB=a,则C(0,2,0),E(2,0,0),D(2,2,0),A(0,-2,a),FA=(0,-2,a),FD=(2,2,0),设平面ADF的一个法向量为n=(x,y,z),则FA·n=-2y+az=0,'所以n=(-a,a,2).FD·n=2x+2y=0,A..-s-.-BE因为直线AB⊥平面BCDE,所以AB⊥CE,又EC2+EB2=BC2,所以BE⊥EC,因为BE∩AB=B,所以CE⊥平面ABE,所以平面ABE的一个法向量为CE=(2,-2,0),=因为平面ADF与平面ABE所成二面角为45°，所以cos(C克，n1=C定·nlAaCE|n22X√/2a2+4=05=号解得u-反，所以AD=(2,4,-√2).设直线AD与平面ABE所成的角为0，则sin0=lcos(AB,CE1=1A方.CE4√11ADCE2√2X√2211√/11所以直线AD与平面ABE所成角的正弦值为111