海淀八模 2023届高三模拟测试卷(三)3文综(J)答案

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解：(1)设AC∩BD=O,则O为AC,BD的中点，连接PO,OE,因为PB∥平面AEC,PBC平面PBD,平面PBD∩平面AEC=OE,所以OE∥PB.因为O为BD的中点，所以E为PD的中点，因为PA=PC,O为AC的中点，所以PO⊥AC,同理可证PO⊥BD,因为AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.因为AB=√2a,BC=a,所以A0-号AC=2AB+BC-停.所以P0=√PA-AO=2以O为坐标原点，DA,AB,OP的方向分别为x,y,之轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(台-号o叫层号0)c(-号号0)(-号-号oPoo引E(--9》设辛面ABC的-个*向量为m=(y).a心=(-ana,0,正-(，号，)》m·AC=-ax+2ay=0,m·A-+。+ay+号=0，4取x=√2，可得m=(2,1,2√2)，易知平面ACD的-个法向量为n=(0,0,1),c0sm,n)=m7=厅X1=11,m。n2W22√22由图可知，二面角EACD的平面角为锐角，因此，二面角EACD的余孩值为，2√222正-（安号）C=(-号号》os正元=AE.PC23AE1IP元V332aXa因此，AE与PC所成角的余弦值为3(3)BD=(-a,-√2a,0),cos(BD,m〉=Bd·m-22a2√66|BD1lm|√3aX√I3312√66因此，BD与平面EAC所成角的正弦值为33

(1)证明：因为PA⊥圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC,而BCC平面ABC,所以PA⊥BC.因为AB是圆O的直径，C为圆周上一点，所以AC⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,而ADC平面PAC,则BC⊥AD,因为AC⊥BC,∠CBA=30°，所以AB=2AC.又AB=2PA,所以PA=AC,而D为线段PC的中点，所以AD⊥PC.又PC∩BC=C,所以AD⊥平面PBC,又ADC平面ABD,故平面ABD⊥平面PBC.(2)解：以C为原，点，分别以CA,CB的方向为x轴、y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Cxy2,。食总人不妨设AB=2,则A10.0,B0n5,0,D(20,号）G(0,)i=(05,0,心=(0，)设平面GBC的一个法向量为m=(x,y,z),m·CB=5y=0,则4之=0，m·CB=√3y=0,则m…心=是x+=0，令x=1,得m=(1,0,一3).由(1)知平面PBC的一个法向量为DA=(分0，一司)，设二面角P-BCG的平面角为0，易知0为锐角，则cos0=Im·DA_2V5ImDA5即二面角P-BCG的余弦值为w55